Liner_Algebra

发表于 2025-01-31 更新于 2025-02-16 分类于 Linear Algebra 阅读次数： Waline：本文字数： 600 阅读时长 ≈ 2 分钟

多线性映射

交替多线性映射（ALternation）

交替映射是一个特殊的多线性映射，具备一种对称性质，如果任意两个输入变量间交换，函数的值会改变符号。这意味着交替映射在某些情况下是反对称的。
例子：
f(v1,v2…vk)= - f(v2,v1…vk)

等价于
${\displaystyle f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})=(\operatorname {sgn} \sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n})\quad {\text{ for any }}\sigma \in \mathrm {S} _{n},}$
所以行列式是交替映射
定义：
R: 交换环
V，W是R上的modules
${\displaystyle f:V^{n}\to W}$

只要存在xi=xj（i不等于j）然后f(x1, …, xn)=0

向量空间上：
V，W是同一个域上的向量空间
如果x1，…xn线性相关，那么f(x1, …, xn)=0，这就是多线性映射

vector

空间中的有向箭头，
列表
计算：向量相加，向量数乘
#
向量的线性组合：向量的数乘之和 a * $\vec{v}$ + b * $\vec{w}$ (a b 是可以任意变化的，代表对向量的伸缩)
张成的空间：所有表示为给定定向量线性组合的向量集合e.g. 一个平面就是两个（任意维）线性无关向量张成的空间；三个三维线性无关向量张成的空间三维空间
Linearly dependent: 一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成的空间做出任何贡献，当有多个向量移除一个向量不会减少张成的空间，就称它们线性相关（其中一个向量可以被其他所有向量的线性组合表示出来）
Linearly independent:一组向量都增加了张成的空间 the only solution to $a * \vec{v} + b * \vec{w} + c * \vec{u} = \vec{0} $ is a = b = c = 0

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.基就是张成该空间的线性无关向量的集合

linear transformation（变换后直线依旧是直线，原点固定，看作保持网格线平行并且等距分布）

可以把矩阵的列看成变换后的基向量，把矩阵乘积看成线性组合

例子：一个坐标系，改变坐标距离，就不是线性变换，因为对角线原来是直线，变换后不是直线了

the “determinant” of a transformation

行列式：线性变换对面积产生改变的比例